Статьи Королевства Дельфи


Теоретические основы изображения кривых Безье


Теорию кривых Безье разработал П. де Кастело в 1959 году и, независимо от него, П. Безье в 1962 году. Для построения кривой Безье N-ого порядка необходимо N+1 точек, две из которых определяют концы кривой, а остальные N-1 называются опорными. В компьютерной графике наибольшее распространение получили квадратичные кривые Безье, строящиеся по трём точкам, и кубические кривые Безье, строящиеся по четырём точкам. Квадратичные кривые Безье используются, например, в шрифтах TrueType при определении контуров символов. API Windows позволяет строить только кубические кривые Безье.

Кубические кривые Безье задаются следующей формулой: P(t)=A*(1-t)3+3*B*t*(1-t)2+3*C*(1-t)*t2+3*D*t3, (1) где A - начало кривой, D - её конец, а B и C - первая и вторая опорные точки. Прямая AB является касательной к кривой в точке A, прямая CD - в точке D. Параметр t изменяется от 0 до 1. При t=0 P(t)=A, при t=1 P(t)=D

Одним из важнейших свойств кривой Безье является её делимость. Если кривую разделить на две кривых в точке t=0.5, каждая из полученных кривых также будет являться кривой Безье. На этом свойстве основывается алгоритм рисования кривых Безье: если кривая может быть достаточно точно аппроксимирована прямой, рисуется отрезок прямой, если нет - она разбивается на две кривых Безье, к каждой из которых вновь применяется этот алгоритм.

В Windows поддерживается два типа кривых: кубические кривые Безье и эллиптические дуги. В Windows 9x/Me дуги рисуются независимо от кривых Безье. В Windows NT/2000/XP дуги аппроксимируются кривыми Безье.

Для рисования кривых Безье используются функции PolyBezier, PolyBezierTo и PolyDraw.

В некоторых случаях удобно строить кривую Безье не по опорным точкам, а по точкам, через которые она должна пройти. Пусть кривая начинается в точке A, при t=1/3 проходит через точку B`, при t=2/3 - через точку C`, и заканчивается в точке D. Подставляя эти точки в уравнение (1), получаем систему, связывающую B` и C` с B и C. Решая систему, получаем:

B=(-5*A+18*B`-9*C`+2*D)/6 (2) C=(2*A-9*B`+18*C`-5*D)/6

Из этих уравнений, в частности, следует, что для любых четырёх точек плоскости существует, и притом единственная, кривая Безье, которая начинается в первой точке, проходит при t=1/3 через вторую точку, при t=2/3 - через третью и завершается в четвёртой точке. Аналогичным образом можно вычислить опорные точки для кривой, которая должна проходить через заданные точки при других значениях t.




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин