В правиле формула называется областью

Аналогичное замечание справедливо и для двухместных предикатов.

Правила образования формул

Если — -местный предикатный символ, а — термы, то выражение является формулой (атомарной).
Если и — формулы, то выражения , , и являются формулами.
Если — формула, а — переменная, то выражения , являются формулами.

Замечания

В правиле формула называется областью действия соответствующего квантора, а все вхождения переменной

в атомарные подформулы формулы называются связанными.
Переменная, имеющая вхождение в атомарную подформулу формулы , не находящуюся в области действия соответствующего квантора, называется свободной переменной формулы . Конечно, одна и та же переменная может иметь как связанные, так и свободные вхождения в формулу.
Формула, не имеющая переменных со свободными вхождениями, называется предложением.
Формулы, в которых имеются свободные вхождения переменных, трактуются как высказывательные формы, а предложения — как высказывания, истинностная оценка которых зависит от интерпретации входящих в них предикатных и функциональных символов в соответствии со смыслом логических связок и кванторов.

Пример.

Пусть нелогическая сигнатура состоит из трех символов , где — двухместный предикат, — одноместная функция, — двухместная функция, тогда выражение очевидно, будет формулой. Поскольку в этой формуле нет свободных переменных, то она является предложением.

Рассмотрим следующую интерпретацию нашей сигнатуры. Пусть универсумом рассуждения будет множество точек плоскости, это означает, что значениями переменных являются точки. Далее, пусть

— точка, являющаяся серединой отрезка ,
— точка, симметричная точке

относительно некоторой точки,
— предикат, означающий равенство точек и .

При такой интерпретации нелогических символов , приведенная выше формула есть утверждение о том, что середина отрезка симметрична середине отрезка с концами, симметричными точкам .

Очевидно, что это утверждение истинно.

Рис. 14.1.

Рассмотрим еще одну интерпретацию нашей сигнатуры. Пусть на этот раз универсумом рассуждения будет множество действительных чисел, исключая число :

Содержание Назад Вперед